ακέραιος

Ολόκληρος, πλήρης, ανέπαφος, σώος· ανόθευτος, άδολος, τίμιος. (Μαθημ.) Α. αριθμός. Οι α. θετικοί ή φυσικοί αριθμοί αποτελούν ένα από τα θεμέλια της μαθηματικής επιστήμης και πρέπει να θεωρούνται προμαθηματικές έννοιες που έχουν αποκτηθεί από ενόραση ή, καλύτερα, με αφαίρεση από την καθημερινή ανάγκη της πράξης να θέτει κανείς αντικείμενα σεαντιστοίχιση με άλλα αντικείμενα, να λογαριάζει. Με αφετηρία τους φυσικούς (α. θετικούς) αριθμούς κατασκευάζονται οι α. αρνητικοί ως οι αντίθετοί τους: αν ν είναι ένας φυσικός αριθμός, τότε ο αντίθετός του, -ν, χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα να δίνει ως άθροισμα 0, όταν προστεθεί στον ν, δηλαδή ν + (-ν) =0. Οι θετικοί και οι αρνητικοί α. χαρακτηρίζονται μαζί ως οι σχετικοί α.· μεταξύ αυτών συγκαταλέγεται και ο 0, ως α. μηδενικός, δηλαδή ούτε θετικός ούτε αρνητικός (το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης). Η μελέτη των α. αριθμών ονομάζεται αριθμητική. Κάθε φυσικός αριθμός, π.χ. ο 5, μπορεί να γίνει κατανοητός με δύο διαφορετικούς τρόπους, είτε ως ένας πληθικός αριθμός είτε ως ένας αριθμός τάξης (τακτικός). Η έννοια του α. αριθμού ως πληθικού πηγάζει από τη σύγκριση ομάδων, που αποτελούνται από ένα πεπερασμένο πλήθος αντικειμένων· έτσι ο πληθικός αριθμός 5 είναι, π.χ., η ετικέτα που πηγαίνει σε μια ομάδα αντικειμένων, τα οποία μπορεί να τεθούν σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοίχιση με τα δάχτυλα του ενός χεριού (σε κάθε δάχτυλο αντιστοιχεί ακριβώς ένα διαφορετικό αντικείμενο και κάθε αντικείμενο αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς δάχτυλο). O αριθμός 5 όμως μπορεί να γίνει κατανοητός και ως η ετικέτα, που πηγαίνει στο τελευταίο αντικείμενο μιας ομάδας από πέντε αντικείμενα, τα οποία είναι σε διάταξη με ορισμένη τάξη· έτσι ο 5 είναι τότε ένας αριθμός δηλωτικός της τάξης και έχει τη σημασία ενός υποκατάστατου της θέσης, που κατέχει ένα αντικείμενο σε μια διάταξη. Οι έννοιες του πληθικού αριθμού και του αριθμού τάξης γενικεύονται αντίστοιχα για σύνολα με άπειρα στοιχεία και για σύνολα τα οποία είναι σε διάταξη με οποιονδήποτε τρόπο. Οι σχετικοί α. μαζί με το μηδέν, αποτελούν έναν δακτύλιο ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Η πρώτη μπορεί να αντιστραφεί (κάθε α. έχει ακριβώς έναν αντίθετό του), η δεύτερη όχι, αφού το πηλίκο δύο α. δεν είναι γενικά ένας α. Από αυτό προκύπτει η ανάγκη να προστεθούν στο σύνολο των α. νέοι αριθμοί, οι ρητοί αριθμοί (κλασματικοί) και να προκύψει έτσι ένα σώμα. Στην αριθμητική (βλ. λ.) γίνεται ανάλυση για τον τρόπο γραφής και ονομασίας των φυσικών αριθμών, για τις τέσσερις πράξεις και τις τυπικές ιδιότητές τους, για τους πρώτους αριθμούς και την ανάλυση ενός α. σε πρώτους παράγοντες, για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο α. καθώς και για τα λογικά και τα φιλοσοφικά θεμέλια της έννοιας του α. αριθμού. α. αλγεβρικοί αριθμοί.Αριθμοί που είναι ρίζες εξισώσεων της μορφής Χ^v + α, Χ^ν−1 + ...... + α^ν = 0, όπου α₁,...... αν α. ρητοί αριθμοί. α. μιγαδικοί αριθμοί (αριθμοί Gauss). Αριθμοί που έχουν τη μορφή α+βi, όπου και α,β α. αριθμοί. Οι αριθμοί αυτοί παριστάνονται με σημεία στο μιγαδικό επίπεδο που έχουν συντεταγμένες α. αριθμούς. α. αλγεβρική συνάρτηση. Συνάρτηση που ικανοποιεί μια εξίσωση της μορφής: Ψ^κ + ρ₁Ψ^κ–1 + ..... p^κ = 0, όπου ρ₁,....ρ_κ πολυώνυμα ν μεταβλητών. α. μονώνυμο. Το γινόμενο α. δυνάμεων γραμμάτων χι, ψι....z επί μια αλγεβρική παράσταση Α που δεν περιέχει αυτά τα γράμματα (π.χ. ΑΧαΨβzγ), όπου α,β,γ, είναι α. θετικοί (ή μηδέν). α. πολυώνυμο. Το αλγεβρικό άθροισμα α. μονωνύμων όπου α,, οι συντελεστές του πολυωνύμου. α. συνάρτηση. Κάθε α. πολυώνυμο μιας μεταβλητής ζ (πραγματικής ή μιγαδικής) και, γενικά, κάθε συνάρτηση του z που ορίζεται από μια σειρά που συγκλίνει σε ολόκληρο το επίπεδο, έχει δηλαδή ακτίνα σύγκλισης άπειρο

* * *

-αία και -αια και -αιη, -αιο και ακαίριος, -ια, -ιο (Α ἀκέραιος, -ον και -αία, -ον)

1. απείραχτος, άθικτος, ανέπαφος

«και τον σκύλο χορτάτο και την πίτα ακέρια», «ἀκέραιον ἀπολαμβάνειν τὴν πόλιν» (Ηρόδ. Γ, 146)

2. ολόκληρος, πλήρης, ατόφιος

«περιουσία ἀκεραία», «ἀκέραιος γῆ» (Πλάτ. Κριτ. 3b)

3. άδολος, έντιμος

«ακέραιος χαρακτήρας», «ἀκέραιος κριτής» (Διον. Αλ. 7, 4)

4. φρ. ακέραιοι αριθμοί Μαθημ.

οι φυσικοί αριθμοί 1, 2, 3..., οι αρνητικοί τους -1, -2, -3... και ο μηδέν.

αρχ.

1. αυτός που δεν περιέχει ξένες ουσίες, ο αμιγής

«ἀκέραιος οἶνος» (Διοσκ. 5, 6)

2. καθαρός στο γένος, στην καταγωγή «σπαρτῶν γένους ἀκέραιος» (Ευρ. Φοίν. 943)

3. αυτός που δεν έχει κακίες και πάθη, ο άσπιλος, ο αγνός

«ἀκέραιον ὡς σώσαιμι Μενέλεῳ λέχος» (Ευρ. Ελ. 48), «ἄπειρον καὶ ἀκέραιον δεῑ κακῶν ἠθῶν γεγονέναι» (Πλάτ. Πολιτ. 409a)

4. «ἐξ ἀκεραίου» — εκ νέου, από την αρχή (Πολύβ. 24, 4, 10) ή σε καλή κατάσταση (Πολύβ. 6, 24, 9), «ἐν ἀκεραίω ἐᾱν» — αφήνω κάτι απείραχτο, κατά μέρος (Πολύβ. 2, 2, 10).

[ΕΤΥΜΟΛ. < ἀ-κέρα-ιος < ἀ- στερητ. + ρίζα κερα- (πρβλ. κερα-ΐζω «καταστρέφω, ερημώνω») + επίθημα -ιος. Η σύνδεση με τη ρίζα κερα- ερμηνεύει σημασιολογικά την προέλευση τής λ. (ακέραιος θα σήμαινε αρχικά «τον αβλαβή, απείραχτο, άθικτο», από όπου μετά η σημ. «ολόκληρος, πλήρης») και τή συνδέει με τη συνώνυμη και ομόρριζη λ. ἀκήρατος. Συγκεκριμένως, η διτυπία ἀκέραιος-ἀκήρατος αντιστοιχεί πρός τη διτυπία τών γεραιός-ἀγήρατος (από ρίζα γερα), όπου η μακρότητα (η) στο ἀκήρατος (αντί *ἀ-κέρατος) πιθ. να οφείλεται στον βραχυντικό νόμο τού Saussure για την αποφυγή των αλλεπάλληλων βραχέων ή σε ετυμολογική επίδραση τής λ. κήρ (βλ. ἀκήρατος). Η σημ. «καθαρός, αμιγής» αποτελεί σημασιολογική εξέλιξη, στην οποία μπορούσε να οδηγήσει η ίδια η αρχική σημ. τής λ. («άθικτος, ανέπαφος») με πιθανή αναλογική (παρετυμολογική) επίδραση τού κεράννυμι «αναμειγνύω» (ἄκρατος / ἄκρητος). Ο νεοελλ. τ. ακέριος προήλθε από το ἀκέραιος με συνίζηση (πρβλ. παλαιός > παλιός). Ομοίως από τη σύνθεση τού ακέριος με το όλος (* ολοακέριος > *ολάκεριος) προήλθε το ολάκερος (πρβλ. καθάριος-ολοκάθαρος, όρθιος-ολόρθος κ.τ.ό.).

ΠΑΡ. αρχ.-νεοελλ. ακεραιότης, ακεραιότητα

αρχ.

ἀκεραιοσύνη

μσν.

ἀκεραιοῦμαι.

ΣΥΝΘ. νεοελλ. ολάκερος].